Hospitalische Regel¶

$$ \begin{array}{} \text{Falls: } & \lim_{x\rightarrow a}f(x) = \lim_{x\rightarrow a}g(x) = 0 \lor \lim_{x\rightarrow a}f(x) = \lim_{x\rightarrow a}g(x) = \infty \\ \Rightarrow &\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \end{array} $$

Taylor Entwicklung¶

$$ g(x) = \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k $$$$ \begin{array}{} \text{Mit: }& x_0:=\text{"Entwicklungsstelle"}\\ & k:=\text{"Ordnung der Taylorentwicklung"} \end{array} $$

Lauft $k$ gegen Unendlich, kann die Taylorentwicklung $g(x)$ Funktion $f(x)$ nachahmen. Es seidemt $f(x)$ bestitzt kritische Polstellen, in diesem Fall wird $f(x)$ von der Entwicklungsstelle bis zur kritischen Stelle nachgeahmt.

Wichtige Taylorreihen

Komplizierte Funktionen annähernd berechnen¶

Beispiel $\sqrt{103}$ mit dem Taylorpolynom von $f(x)=\sqrt{x}$ an der Entwicklungsstelle $x_0=100$: $$ f(103)=\sqrt{103}\approx g(103)=\sum_{k=0}^{3}\frac{f^{(k)}(100)}{k!}(103-100)^k $$

Taylorpolynom der Funktion $f(x)=(1+x)^a, a\in\mathbb{R}$¶

Entwicklungsstelle $x_0=0$ $$ g(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{a\cdot(a-1)\cdot...\cdot(a-(n-1))}{n!}\cdot x^n =\sum_{k=0}^{n}\frac{\frac{a!}{(a-k)!}}{k!}\cdot x^k =\sum_{k=0}^{n}\binom{a}{k}\cdot x^k $$ $$ \text{Für } |x|<1 \land n\rightarrow \infty \Rightarrow f(x)=g(x) $$

Nummerische Berechnung von Nullstellen¶

Nullstellensatz¶

Nullstelle wird in einem Intervall gesucht:

Da die Nullstelle nicht bekannt ist, andere Bedingungen:

$f(a)\cdot f(m) \rightarrow$

• wenn negative $\Rightarrow$ m > Nullstelle
• wenn positive $\Rightarrow$ m < Nullstelle

Newtonverfahren¶

$$ \displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}} $$

Integrale¶

TODO

Partielle Integration¶

Substitution¶

Komplexe Zahlen¶

$$ \begin{array}{} \mathbb{C}:=\mathbb{R}^2=\{(a,b)|a,b\in\mathbb{R}\}\\ (a,b) = a+ib \in \mathbb{C} \end{array} $$

Es handelt sich dabei bei $a$ um den Realteil und bei $b$ um den Imgainärteil.

Verknüpfungen¶

$$ \begin{array}{cl} (a_1,b_1)\cdot(a_2,b_2)&:=&(a_1+a_2,b_1+b_2)\\ (a_1,b_1)+(a_2,b_2)&:=&(a_1a_2-b_1b_2,a_1b_2+a_2b_1) \end{array} $$

Betrag und Konjugation¶

$$ \begin{array}{} |z| &:=& \sqrt{a^2+b^2}\\ \overline{z} &:=& \sqrt{a-ib} \end{array} $$

Komplexe $e$-Funktion¶

$$ \begin{array}{cl} e^z&=&\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{k!}\\ e^{i\varphi}&=&1+i\varphi+\frac{(i\varphi)^2}{2}+\frac{(i\varphi)^3}{3}+...\\ &=&1+i\varphi-\frac{\varphi2}{2}-i\cdot\frac{\varphi^3}{3}+\frac{\varphi4}{4}+i\cdot\frac{\varphi^5}{5}--++...\\ &=&\underbrace{1-\frac{\varphi^2}{2}+\frac{\varphi^4}{4!}-\frac{\varphi^6}{6!}+-...}_{=cos(\varphi)}\cdot i\cdot\underbrace{(\varphi-\frac{\varphi^3}{3!}+\frac{\varphi^5}{5!}-\frac{\varphi^7}{7!}+-...)}_{=sin(\varphi)}\\ &=&cos(\varphi)+i\cdot sin(\varphi) = \underbrace{(cos(\varphi), sin(\varphi))}_{\in\text{Einheitskreis}} \end{array} $$

Polarkoordinaten¶

$$ z = r\cdot e^{i\varphi} $$

Mit:

$$ \begin{array}{cl} \text{Radius:} & r & = & \sqrt{a^2 + b^2}\\ \text{Winkel:} & \tan\varphi & = & \frac{b}{a} \end{array} $$

Multiplikation und Division¶

$$ \begin{array}{c} z_1 \cdot z_2 & = & r_1e^{i\varphi_1}\cdot r_2e^{i\varphi_2} & = & \overbrace{r_1r_2}^{\text{Streckung}}\cdot e^{i\overbrace{(\varphi_1+\varphi_2)}^{\text{Drehung}}}\\ \frac{z_1}{z_2} & = & \frac{r_1e^{i\varphi_1}}{ r_2e^{i\varphi_2} }& = & \overbrace{\frac{r_1}{r_2}}^{\text{Stauchung}}\cdot e^{i\overbrace{(\varphi_1-\varphi_2)}^{\text{Kürzung}}} \end{array} $$

Komplexe Einheitswurzel¶

Für $n \in \mathbb N$ hat die Gleichung $z^n = a; a \in \mathbb R$ genau $n$ komplexe Lösungen.
Die $j$-te Lösung Lauten:

$$ \begin{array}{cl} z_j = e^{i\cdot\frac{2\pi}{n}\cdot j} = \left(e^{i \cdot \frac{2\pi}{n}}\right)^j=z_1^j \end{array} $$

Dabei wird $z_1=e^{i\cdot\frac{2\pi}{n}}$ als $n$-te Einheitswurzel bezeichnet.
-> Durch diese lassen sich alle anderen Nullstellen durch potenzieren ermitteln.